Tableau de variation d’une fonction

Comment étudier le sens de variation d’une fonction avec sa dérivée et déterminer son tableau de variation ?

Tu vas découvrir les 5 étapes pour déterminer le tableau de variation d’une fonction à partir de sa dérivée. C’est un exercice de première spé maths qui donne régulièrement en évaluation sur la dérivation.

Déterminer l’ensemble de définition

Tout d’abord on regarde si l’ensemble de définition de la fonction est donnée, sinon il faut le préciser.

Ici c’est assez rapide. La fonction f est une fonction polynôme donc définie et dérivable sur R.

Calculer la dérivée de la fonction

Continuons en calculant la dérivée de la fonction f.
C’est une fonction polynôme de degré 3 qui se dérive de la façon suivante.

La dérivée de x au cube est 3x² + la dérivée de 2x² c’est à dire 2×2x – la dérivée de 7x qui est égale à 7 et la dérivée d’une constante est zéro.
Finalement en réduisant cette expression on obtient 3x²+4x-7

Etudier le signe de la dérivée

Cette propriété nous dit que le sens de variations de f dépendent du signe de cette dérivée

Ici on remarque que f’ est une fonction polynôme du second degré, et pour étudier son signe on passe par le calcul du discriminant qui va nous donner 2 racines. A partir de ces 2 racines, on obtiendra le signe de notre dérivé.

Calculons le discriminant :

Grace aux racines du polynôme, on va pouvoir établir le tableau de signe de la dérivé.

On peut donc commencer à construire le tableau de variation de la fonction f.

Tableau de variation de la fonction

Le tableau de signe de la dérivée va me permettre de trouver le sens de variation de la fonction.
Partout ou la dérivée est positive, la fonction est croissante et partout ou la dérivée est négative la fonction est décroissante.

Vérification avec la calculatrice

Maintenant on peut vérifier nos résultats à l’aide de notre calculatrice.
Ici je vais prendre la calculatrice NUMWORKS.