Tableau de variations d’une fonction

Comment étudier le sens de variation d’une fonction avec sa dérivée et déterminer son tableau de variations ?

On va étudier les variations d’une fonction polynôme.
Tu vas découvrir les 5 étapes pour déterminer le tableau de variations d’une fonction à partir de sa dérivée.
C’est un exercice de première spé maths qui donne régulièrement en évaluation sur la dérivation.

Déterminer l’ensemble de définition

Pour étudier les variation d’une fonction, tout d’abord on regarde si l’ensemble de définition de la fonction est donnée, sinon il faut le préciser.

Ici c’est assez rapide. La fonction f est une fonction polynôme donc définie et dérivable sur R.

Calculer la dérivée de la fonction

Continuons en calculant la dérivée de la fonction f.
Dériver la fonction nous permettra de connaitre le signe de la dérivée.
Une fonction polynôme de degré 3 est dérivable sur R et se dérive de la façon suivante :

x au cube est une fonction de référence et sa dérivée est 3x² + la dérivée de 2x² c’est à dire 2×2x – la dérivée de 7x qui est égale à 7 et la dérivée d’une constante est zéro.
Finalement en réduisant le calcul de la dérivée, on obtient 3x²+4x-7

Etudier le signe de la dérivée

Cette propriété nous dit que le sens de variations de f dépendent du signe de cette dérivée

Ici on remarque que f’ est une fonction polynôme du second degré, et pour étudier son signe on va résoudre une équation. On passe par le calcul du discriminant qui va nous donner 2 racines. A partir de ces 2 racines, on obtiendra le signe de la dérivée.

Calculons le discriminant (delta):

Grace aux racines du polynôme, on va pouvoir établir le tableau de signe de la dérivé.

On peut donc commencer à construire le tableau de variation de la fonction f.

Tableau de variations de la fonction

Dans la première ligne, le tableau de signes de la dérivée va me permettre de trouver le sens de variation de la fonction.
Partout ou la dérivée est positive, la fonction est strictement croissante et partout ou la dérivée est négative la fonction est strictement décroissante.
On peut maintenant dresser un tableau de variation et un tableau de signes.

La fonction f admet un maximum local en x=-14/6 et un minimum local en x=1.

Représentation graphique avec la calculatrice Numworks

Maintenant on peut vérifier graphiquement nos résultats à l’aide de notre calculatrice pour voir la courbe représentative de la fonction.
Ici je vais prendre la calculatrice NUMWORKS.

Et pour aller plus loin, on pourrait étudier les limites.

Dans un prochaine exercice de niveau première / terminale, on étudiera les variations d’une fonction avec un logarithme et une exponentielle.